在数学和工程学中，理解矩阵的特征值与特征向量至关重要。它们不仅帮助我们解析复杂的线性变换，而且在数据分析、机器学习等领域也有广泛应用。当我们遇到特征值有重复的情况（即重根）时，如何求解对应的特征向量呢？这是一道需要细致思考的问题。

首先，让我们回顾一下基本概念：

- 特征值是通过解方程 det(A - λI) = 0 得到的，其中 A 是给定的矩阵，λ 表示特征值，而 I 则是单位矩阵。

- 特征向量则是指满足 (A - λI)v = 0 的非零向量 v。

当特征值出现重根时，意味着这个特征值具有代数重数大于一。这时，我们需要找到所有线性独立的特征向量来构成特征空间的基础。通常情况下，对于每个特征值 λ，我们可以通过求解 (A - λI)v = 0 来找到其特征向量。如果存在重根，可能需要寻找更高维的空间内的基础解系，以确保找到足够的线性独立向量。

🔍 特别注意的是，即使特征值相同，不同的初始条件可能会导致不同的特征向量。因此，在处理重根时，细心和耐心是非常重要的。