【条件期望怎么计算举例】在概率论和统计学中，条件期望是一个重要的概念，用于描述在已知某些信息的情况下，随机变量的期望值。它广泛应用于金融、经济学、机器学习等领域。本文将通过实例对条件期望的计算方法进行总结，并以表格形式展示关键内容。

一、条件期望的基本定义

设 $ X $ 和 $ Y $ 是两个随机变量，$ E[XY = y] $ 表示在已知 $ Y = y $ 的条件下，随机变量 $ X $ 的期望值。这种期望值是关于 $ Y $ 的函数，即：

$$

E[XY = y] = \sum_{x} x \cdot P(X = x Y = y)

$$

对于连续型随机变量，则用积分表示。

二、条件期望的计算步骤

1. 确定条件事件：明确已知的变量或事件（如 $ Y = y $）。

2. 求条件概率分布：计算 $ P(X = x Y = y) $。

3. 加权求和：根据条件概率分布，计算加权平均值，即为条件期望。

三、实例分析

示例1：离散型随机变量

假设 $ X $ 和 $ Y $ 是两个离散型随机变量，其联合概率分布如下表所示：

我们计算 $ E[X Y = 2] $。

步骤1：确定条件事件

已知 $ Y = 2 $。

步骤2：求条件概率分布

首先计算 $ P(Y = 2) = 0.2 + 0.2 + 0.1 = 0.5 $

然后计算：

- $ P(X=1 Y=2) = \frac{0.2}{0.5} = 0.4 $

- $ P(X=2 Y=2) = \frac{0.2}{0.5} = 0.4 $

- $ P(X=3 Y=2) = \frac{0.1}{0.5} = 0.2 $

步骤3：计算条件期望

$$

E[X Y = 2] = 1 \times 0.4 + 2 \times 0.4 + 3 \times 0.2 = 0.4 + 0.8 + 0.6 = 1.8

$$

示例2：连续型随机变量

设 $ X $ 和 $ Y $ 是连续型随机变量，联合概率密度函数为：

$$

f_{X,Y}(x, y) =

\begin{cases}

2(x + y), & 0 < x < 1,\ 0 < y < 1 \\

0, & \text{其他}

\end{cases}

$$

计算 $ E[X Y = 0.5] $

步骤1：确定条件事件

已知 $ Y = 0.5 $

步骤2：求条件概率密度函数

先求边缘密度 $ f_Y(y) $:

$$

f_Y(y) = \int_0^1 2(x + y)\, dx = 2\left[ \frac{x^2}{2} + xy \right]_0^1 = 2\left( \frac{1}{2} + y \right) = 1 + 2y

$$

因此，

$$

f_{XY}(x 0.5) = \frac{f_{X,Y}(x, 0.5)}{f_Y(0.5)} = \frac{2(x + 0.5)}{1 + 1} = x + 0.5

$$

步骤3：计算条件期望

$$

E[X Y = 0.5] = \int_0^1 x \cdot (x + 0.5)\, dx = \int_0^1 (x^2 + 0.5x)\, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{0.5x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}

$$

四、总结与对比

以下表格总结了两种情况下的条件期望计算过程：

五、小结

条件期望是基于已知信息对随机变量的期望进行修正的重要工具。无论是离散型还是连续型随机变量，其核心思想都是在特定条件下对变量进行加权平均。通过具体例子可以更直观地理解其计算方式和应用场景。