【几何分布的期望和方差】几何分布是概率论中一种重要的离散型概率分布，常用于描述在一系列独立的伯努利试验中，首次成功发生在第k次试验的概率。几何分布有两种形式：一种是首次成功发生在第k次试验（即从1开始计数），另一种是首次成功发生在第k-1次失败之后（即从0开始计数）。本文将重点介绍第一种形式，即首次成功发生在第k次试验的几何分布。
一、几何分布的定义
设随机变量X表示首次成功发生的试验次数，每次试验成功的概率为p（0 < p ≤ 1），则X服从几何分布，记作X ~ Geom(p)。其概率质量函数为：
$$
P(X = k) = (1 - p)^{k - 1} \cdot p, \quad k = 1, 2, 3, \ldots
$$
二、几何分布的期望和方差
几何分布的期望和方差是衡量其集中趋势和离散程度的重要指标。以下是其数学表达式：
| 指标 | 公式 | 说明 |
| 期望 | $ E(X) = \frac{1}{p} $ | 表示平均需要进行多少次试验才能首次成功 |
| 方差 | $ Var(X) = \frac{1 - p}{p^2} $ | 表示试验次数的波动程度 |
三、总结
几何分布广泛应用于实际问题中，如产品质量检测、客户流失分析、网络请求等待时间等场景。理解其期望和方差有助于我们对事件发生的时间规律做出更准确的预测和决策。
通过上述表格可以看出，几何分布的期望与成功概率p成反比，p越大，期望值越小；而方差则随着p的增大而减小，说明当成功概率较高时，试验次数的波动性也较小。
注： 本文内容基于标准几何分布模型编写，适用于教学、科研及数据分析等场景。
