【增函数加增函数是增函数吗】在数学中，函数的单调性是一个重要的性质。增函数指的是在其定义域内，当自变量增大时，函数值也随之增大的函数。那么，当我们把两个增函数相加时，它们的和是否仍然是增函数呢？这是一个值得探讨的问题。
为了更清晰地理解这个问题，我们可以从数学定义出发，结合实例进行分析，并通过表格形式总结结论。
一、基本概念
1. 增函数的定义
设函数 $ f(x) $ 在区间 $ I $ 上有定义，若对于任意 $ x_1, x_2 \in I $，当 $ x_1 < x_2 $ 时，都有 $ f(x_1) < f(x_2) $，则称 $ f(x) $ 是区间 $ I $ 上的增函数。
2. 函数的和
若 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 都是定义在区间 $ I $ 上的函数，则它们的和为 $ h(x) = f(x) + g(x) $。
二、分析与举例
我们可以通过一些具体的例子来验证“增函数加增函数是否还是增函数”。
例1：线性函数
- $ f(x) = x $（增函数）
- $ g(x) = x $（增函数）
- $ h(x) = f(x) + g(x) = x + x = 2x $（增函数）
结论：增函数加增函数仍是增函数。
例2：非线性函数
- $ f(x) = x^3 $（增函数，因为导数 $ f'(x) = 3x^2 \geq 0 $）
- $ g(x) = x $（增函数）
- $ h(x) = x^3 + x $（导数 $ h'(x) = 3x^2 + 1 > 0 $，故为增函数）
结论：增函数加增函数仍是增函数。
例3：特殊构造函数
- $ f(x) = x $（增函数）
- $ g(x) = -x + 1 $（减函数）
- $ h(x) = x + (-x + 1) = 1 $（常函数）
虽然 $ g(x) $ 不是增函数，但这里只是为了说明：如果一个函数不是增函数，其和可能不再是增函数。
三、一般性结论
从上述分析可以看出：
- 两个增函数的和仍然是增函数。
- 这是因为增函数的导数在定义域内始终非负，而两个非负导数的和仍然非负，因此和函数的导数也非负，即为增函数。
四、总结表格
| 情况 | 函数1 | 函数2 | 和函数 | 是否为增函数 |
| 线性函数 | 增函数 | 增函数 | 增函数 | ✅ |
| 非线性函数 | 增函数 | 增函数 | 增函数 | ✅ |
| 一个增函数 + 一个减函数 | 增函数 | 减函数 | 可能为常函数或非增 | ❌ |
| 两个增函数 | 增函数 | 增函数 | 增函数 | ✅ |
五、结语
综上所述，增函数加增函数仍然是增函数。这一结论在数学分析中具有重要意义，尤其在研究复合函数、函数的单调性以及优化问题时，可以提供理论支持。不过，在实际应用中，仍需注意函数的定义域和导数的变化情况，以确保结论的准确性。
