【高中常用十个泰勒展开公式】在高中数学学习中，泰勒展开是一个重要的工具，尤其在理解函数的局部性质、近似计算以及微分和积分的应用中有着广泛的应用。虽然泰勒展开通常是在大学阶段深入学习的内容，但在高中阶段，掌握一些常见的泰勒展开式可以帮助学生更好地理解函数的图像和变化趋势。
以下是一些高中阶段常用的十个泰勒展开公式，以加表格的形式呈现：
一、泰勒展开简介
泰勒展开是将一个函数在某一点附近用无限次可导的多项式来逼近的方法。其一般形式为：
$$
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \cdots
$$
当 $ a = 0 $ 时，称为麦克劳林展开（Maclaurin series）。
二、高中常用十种泰勒展开公式
| 序号 | 函数表达式 | 泰勒展开式（在 $ x=0 $ 处） | 说明 | ||
| 1 | $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $ | 指数函数的展开式，适用于所有实数 | ||
| 2 | $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots $ | 奇函数，仅含奇次幂项 | ||
| 3 | $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots $ | 偶函数，仅含偶次幂项 | ||
| 4 | $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots $ | 定义域为 $ -1 < x \leq 1 $ | ||
| 5 | $ \arctan x $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots $ | 收敛于 $ -1 \leq x \leq 1 $ | ||
| 6 | $ \arcsin x $ | $ x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{x^5}{5} + \cdots $ | 系数较复杂，收敛于 $ -1 \leq x \leq 1 $ | ||
| 7 | $ \frac{1}{1-x} $ | $ 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots $ | 等比数列求和，收敛于 $ | x | < 1 $ |
| 8 | $ \frac{1}{1+x} $ | $ 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots $ | 等比数列求和，收敛于 $ | x | < 1 $ |
| 9 | $ (1+x)^n $ | $ 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots $ | 二项式展开，适用于任意实数 $ n $ | ||
| 10 | $ \tan x $ | $ x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots $ | 只在 $ x $ 接近 0 时有效 |
三、总结
以上十个泰勒展开公式是高中数学中较为常见且实用的展开形式，它们帮助我们从代数角度理解函数的变化规律，并可用于近似计算或分析函数的局部行为。尽管这些公式在高中阶段可能不作为重点内容，但掌握它们有助于提升对函数的理解深度和解题能力。
通过表格的形式，可以更直观地看到各个函数的展开方式及其适用范围。建议结合实际题目练习使用这些展开式，加深记忆与理解。
